Номографический метод расчета полупроводниковых термоохлаждающих устройств

Термоэлектрическое охлаждение основано на использовании эффекта Пельтье, который состоит в том, что при прохождении электрического тока через цепь, составленную из разнородных проводников, в местах контактов (спаев) выделяется или поглощается некоторое количество тепла. Разнородность должна заключаться в различии величин энергий носителей тока в этих проводниках. Чем больше разность этих величин, тем сильнее проявляется эффект Пельтье, тем больше выделяется или поглощается тепла. Коэффициент, отражающий указанное качество различных проводников, называется коэффициентом Пельтье и обозначается обычно буквой П. Для определенной пары материалов количество выделенного или поглощенного тепла Qn (тепло Пельтье) линейно зависит от силы тока, проходящего через место контакта: Qu=ПI.

Физический смысл явления схематично показан на рис. 1.

Введение

На оси ординат отложена энергия электронов двух различных веществ — полупроводника и металла. Энергия электронов проводимости в электронном полупроводнике выше, чем в металле. Если под воздействием электрического поля электроны начнут двигаться от полупроводника к металлу, то переход носителей осуществляется к веществу, в котором носители должны находиться на более низком энергетическом уровне, а избыточная энергия электронов при их переходе в более «спокойное» состояние отдается кристаллической решетке вещества, что мы воспринимаем как теплоту Пельтье.

При обратном направлении движения электроны, переходя на более высокий энергетический уровень, «отнимают» часть энергии от кристаллической решетки — тепло Пельтье поглощается.

В обоих случаях выделение или поглощение тепла происходит непосредственно вблизи контакта двух веществ, так как тепловое равновесие наступает в результате всего нескольких десятков соударений электрон—атом. На контакте дырочного полупроводника и металла имеет место обратное соотношение (электроны теряют энергию при переходе из металла в полупроводник), и при этом направлении тока выделяется теплота Пельтье; при обратном направлении тока теплота Пельтье поглощается.

Эффект Пельтье достигает максимального значения при использовании не металлов, а полупроводников. Для пары, составленной из электронного и дырочного вещества, процесс обмена энергиями электрон—атом, сопровождающийся выделением или поглощением тепла, нужно рассматривать для разных носителей тока (электронов и «дырок»), у которых разница в энергетических уровнях особенно велика.

Описанное явление обратимо. Если а той же цепи, составленной из тех же веществ, создать в месте контакта искусственно различные температуры, то между контактами возникнет разность потенциалов и по цепи пойдет ток. Это явление было открыто Зеебеком в 1834 г. Возникающая термоэлектродвижущая сила (термоэдс) пропорциональна созданной разности температур спаев:

Введение

Коэффициенты обоих эффектов (Пельтье и Зеебека) связаны простым соотношением:

Введение

Тепло Пельтье может быть, следовательно, определено через коэффициент Зеебека

Введение

Введение

На рис. 2 изображена цепь, составленная из электронного (—) и дырочного (+) полупроводников и источника постоянного тока; к электронному полупроводнику подключен плюс батареи, а к дырочному — минус. В этом случае в месте спая ветвей тепло Пельтье будет поглощаться (—Qn), а на противоположной стороне — выделяться (+Qn). При обратном направлении тока тепло в месте спая будет выделяться, а на противоположной стороне — поглощаться.

Таким образом, термоэлемент работает как тепловой насос, перекачивая тепло от одного спая к другому. Для получения больших количеств тепла или холода в термостатах и холодильниках составляют цепи (термобатареи) из большого количества термоэлементов.

Эффективность использования явления Пельтье во многом зависит от теплообмена холодных и горячих спаев с охлаждаемой или нагреваемой средой, поэтому обе стороны обычно оребряются. Кроме того, теплообмен интенсифицируется увеличением скорости потока жидкости или газа, участвующих в теплообмене. Для отвода тепла могут использоваться скрытая теплота плавления, парообразование и т. д.

Для термоэлектрических расчетов нами приняты следующие условные обозначения:

Qx — холодопроизводительность термоэлемента, вт;

ТГ — температура «горячего» спая, °К;

Тх — температура «холодного» спая, °К;

ΔТ — перепад температур на термоэлементе, град.;

К — полная теплопроводность термоэлемента, вт;

S — сечение ветви термоэлемента, см2; S=S1=S2, где St и S2 — сечение первой и второй ветви термоэлемента;

l — длина ветви термоэлемента, см; l=l1=lг, где l1 и lг — длина первой и второй ветви термоэлемента;

V — падение напряжения на термоэлементе, в;

I — сила тока, а;

W — мощность, потребляемая термоэлементом, вт;

R — полное омическое сопротивление термоэлемента, ом;

ā1, 2— коэффициент термоэдс, в · град.-1;

1,2— удельная электропроводность, ом-1 ·см -1;

χˉ 1, 2— удельная теплопроводность, вт · см-1  ·град. -1;

1, 2— коэффициент термоэлектрической добротности, град.-1.

Термоэлектрические параметры, относящиеся к обеим ветвям элемента, обозначены индексами (1, 2). Черточка над буквенным обозначением показывает, что значение взято как усредненное в диапазоне температур от Тг до Тх (нелинейность распределения температур вдоль ветви термоэлемента не учитывается). Величины, относящиеся к Отдельным ветвям термоэлемента, обозначены индексами (1) или (2).

Коэффициент термоэдс для термопары есть разность соответствующих коэффициентов для ветвей:

Введение

Но поскольку коэффициенты термоэдс ветвей имеют различные знаки, общий коэффициент термоэдс пары равен сумме абсолютных значений коэффициентов ветвей.

Удельная электропроводность и теплопроводность пары есть среднее арифметическое от значений этих величин для ветвей

Введение Введение

Добротность пары определяется формулой

Введение

Если термоэлектрические параметры вещества обеих ветвей примерно одинаковы, то часто в практических расчетах принимают

Введение

Наиболее важной характеристикой термоэлемента, как и всякой холодильной машины, является отношение холодопроизводительности данного элемента к потребляемой им мощности, т. е. холодильный коэффициент

           Введение

Уравнение теплового баланса холодного спая термоэлемента имеет вид:

Введение

Мощность, потребляемая термоэлементом,

Введение

Здесь Iā1,2ΔТ — мощность, затрачиваемая на преодоление термоэдс, возникающей вследствие наличия разности температур на термоэлементе; PR — мощность, превращающаяся в джоулево тепло.

С учетом (4) и (5) холодильный коэффициент термоэлемента определится следующей формулой:

Введение

Эта формула выражает в наиболее общем виде физические процессы, происходящие в термоэлементе, и позволяет рассчитать его параметры для работы в любых условиях и в любом тепло-энергетическом режиме. Для решения такой задачи построена «составная номограмма общего случая», описанная ниже.

В практике часто пользуются двумя частными случаями, которые во всей области значений, охватываемых выражением (6), представляют две определенные линии экстремальных значений ε и Qx.

Если исследовать на максимум выражение (6), то значение оптимального тока, при котором холодильный коэффициент достигает максимального значения, выразится формулой

Введение

Холодильный коэффициент при этом

Введение

Подставив обозначения

Введение

и

Введение

в формулу (8), получим

Введение

Холодопроизводительность в режиме максимального холодильного коэффициента можно рассчитать по формуле

Введение

Режим максимальной холодопроизводительности соответствует получению максимальной разности температур на термоэлементе. Оптимальное значение тока можно получить, приравняв нулю производную

Введение

Тогда при токе

Введение

холодопроизводительность достигает максимального значения

Введение

Максимальная разность температур достигается при минимальной тепловой нагрузке на термоэлемент, т. е., при Qx= 0

Введение

Холодильный коэффициент в режиме Qmах рассчитывается по формуле

Введение

Вообще говоря, можно написать формулы для расчета всех параметров термоэлемента. Вид этих формул может быть различным в зависимости от метода решения задачи и способа расчета параметров термоэлемента.

Поскольку для расчета термоэлементов в режимах εmах и Qmax в данном случае построена специальная номограмма (см. приложение), то, в соответствии со спецификой метода, формулы, по которым строилась номограмма, взяты в наиболее простом и по возможности общем для обоих режимов виде. Так, например, определять холодопроизводительность по (12) и (14) при номографическом способе решения нецелесообразно, вследствие сложности этих выражений, поэтому Qх рассчитывается только как произведение ε на W. Ниже приводится таблица расчетных формул, из которой видно, что для рассматриваемых режимов различаются только три формулы. Там, где расчетные формулы совпадают, в графе режима Qmax поставлен прочерк.

Введение

Расчет термобатареи производится по следующим формулам: число элементов

Введение

Введение

мощность, потребляемая термобатареей,

     Введение

Номограммой предусмотрен расчет термоэлемента в обоих режимах, но за основу взят режим максимального холодильного коэффициента как наиболее экономически целесообразный. Меньшая, по сравнению с режимом Qmах, холодопроизводительность одного термоэлемента легко компенсируется их числом в термобатарее.

Режим Qmах применяется, например, когда вес и габариты конструкции должны быть минимальными, а потребляемая мощность может быть увеличена. Решающее влияние на выбор режима работы могут оказывать причины как конструктивного, так и технологического порядка. В некоторых случаях по условиям эксплуатации режим Qmax может применяться как форсированный для термобатареи, рассчитанной в режиме εmax.

Расчет и конструирование полупроводниковых термоэлектрических устройств является довольно сложной технической задачей, состоящей из четырех взаимосвязанных частей: термоэлектрической, конструктивной, технологической и теплотехнической. Теоретически правильной будет конструкция, которая наилучшим образом удовлетворит требованиям каждой из составных частей. Однако такой идеальный случай вряд ли возможен, и на практике приходится искать компромиссное решение.

В этом поиске разработчик сталкивается сразу со многими неизвестными, связанными между собой довольно сложным образом. Изменение одной величины ведет обычно к изменению целого ряда других. Изменился, например, теплосъем — значит увеличился или уменьшился температурный градиент, стали другими температуры спаев, изменился холодильный коэффициент и потребляемая мощность и т. д.

Кроме того, разработчик сталкивается с большим разнообразием возможных вариантов как в постановке задачи (выбор исходных параметров), так и в их решении.

Заданные для расчета исходные параметры могут быть различными в зависимости от условий работы данного прибора. Может быть задана, например, температура окружающей среды или температура охлаждаемого объема. В другом случае важно обеспечить постоянную разность температур между термостатируемым объемом и окружающей средой. В третьем случае нельзя превышать заданной мощности. Иногда ограничиваются размеры термоэлементов, и т. д. Часто ограничен не один параметр, а два или больше. В расчетные формулы холодильного термоэлемента входит одиннадцать различных величин, которые могут быть заданы как исходные для расчета.

Если для проверки числа возможных вариантов допустить, что могут быть заданы любые один, два, три или четыре параметра и подсчитать число сочетаний по одному, по два, по три и по четыре из одиннадцати, то получится довольно неутешительный итог — при расчетах может возникнуть более двухсот вариантов задач.

Введение

Правда, в зависимости от назначения разрабатываемого устройства какие-то условия являются наиболее важными. Это облегчает поиск, так как доминирующей становится определенная группа параметров.

Если, допустим, проектируется лабораторный медицинский термостат, то на первое место может выступить термоэлектрическая часть как обеспечивающая нужную, строго стабильную температуру, причем потребление электрической энергии из сети в этом случае не лимитируется и габариты могут тоже не иметь существенного значения. Теплоотвод решается просто, так как можно использовать водопроводную воду.

Если же создается термостат для радиоэлектронной аппаратуры самолета, то резко повышаются требования к конструктивному решению.

Батарея должна быть вибро-ударопрочной. Желательны малые габариты и вес. Теплосъем обычно затруднен. В этом случае конструктивные и технологические вопросы разрешаются труднее, чем термоэлектрические.

Задачи, выполняемые термоэлектрическими устройствами, все усложняются, расширяется область их применения, и, в соответствии с этим, усложняется конструкция термобатарей и их расчет, который иногда может занимать даже у квалифицированного инженера несколько недель, поскольку для того чтобы найти решение, близкое к оптимальному, приходится, варьируя в допустимых пределах исходными параметрами, делать целую серию расчетов.

Для того чтобы облегчить разработчику поиск наиболее близкого к оптимальному решения в одной из четырех составных частей разработки (термоэлектрической), нами предлагается методика расчета термоэлементов по специально разработанным составным номограммам, которые обеспечивают получение искомых параметров в соответствии с системой аналитических зависимостей, заложенных при расчете и построении номограмм.

Составная номограмма включает ряд частных номограмм, связанных между собой общей схемой решения. Результат, полученный на одной из частных номограмм, является входом в следующую или в несколько других частных номограмм и, таким образом, все частные номограммы объединяются общим замыслом, общей системой взаимосвязи между исходными и определяемыми параметрами. Смысл такой номограммы заключается также в том, что ее использование позволяет избежать значительной части той работы, которую обычно приходится повторять каждому инже- неру-разработчику. В номограмме уже заложен определенный объем предварительной работы по анализу и выбору расчетных формул, по выявлению наиболее существенных функциональных зависимостей между термоэлектрическими параметрами.

За основу построения составных номограмм для расчета термоэлементов взяты сетчатые номограммы, представляющие собой семейство пересекающихся линий, отражающих определенную зависимость между рассматриваемыми величинами. На таком типе номограмм весь процесс решения фиксируется графически, что позволяет достаточно наглядно определять, как и на сколько нужно скорректировать тот или иной параметр, чтобы изменить результат в желаемом направлении и на желаемую величину.

Шкалы почти всех номограмм выбраны логарифмическими, поскольку численные значения величин, участвующих в расчетах, охватывают обычно 2—3 порядка, а также потому, что основные зависимости между параметрами изображаются в логарифмической сетке прямыми линиями.

Кривые используются только тогда, когда вводится действие сложения или вычитания.

На рис. 3 показан пример сетчатой номограммы, отражающей наиболее простое соотношение величин типа

Введение

В примере В = 0.25; С = 0.5; А =0,25/0,5 = 0.5. Естественно, что может

быть определена любая из трех величин, если заданы две другие, т. е. ход решения не связан направлением

Введение

Если задаться одной величиной, то легко определить, какие соотно шения двух других величин соответствуют исходной. Это видно такж на рис. 3 для А'=2.

  Введение

и вообще,

 Введение

Под А, В и С могут подразумеваться как простые, так и сложные выражения, содержащие коэффициенты, степени и т. д.